Razón matemática do sistema de votación dos Premios Mestre Mateo

Jorge Mira Pérez
Departamento de Física Aplicada
Universidade de Santiago de Compostela

Julio González Díaz
Departamento de Estatística, Análise Matemática e Optimización
Universidade de Santiago de Compostela

1. Introdución

Parece sinxelo elixir un representante político nun réxime democrático ou calquera outra figura no seo dunha organización; mais non o é. Sirva como exemplo a lei electoral española. A súa regulamentación matemática -baseada na Lei d’Hondt- xunto co esquema de circunscricións provinciais, xera uns resultados que levan cara a unha certa dinámica política, que sería moi distinta se o sistema fose outro. Sistemas de votación distintos, resultados distintos. Cada un ten as súas vantaxes e eivas, así que a cuestión de cal usar revélase coma fundamental para moitos procesos electivos.

Esa decisión tivo que ser tomada pola Academia Galega do Audiovisual no ano 2002, no que encetou a organización dos seus Premios, os Mestre Mateo, cuxa primeira edición tivo lugar en 2003. Un dos feitos previsibles neste premio foi a aparición dun gran número de candidaturas para algunhas das categorías, o que non parecía aconsellar unha votación simple a unha quenda. Dito doutro xeito: non parecía eficiente que centos de académicos (a finais de 2018 había 361) escollesen nunha única quenda a voto único directo entre un número de candidaturas que pode chegar facilmente a máis de 20. Á marxe desta consideración está, obviamente, a necesidade estética de xerar un grupo de finalistas para organizar unha gala.

A situación é análoga á que se atopa noutras academias do audiovisual a nivel español e internacional, nas que parece haber un consenso na necesidade dun sistema de dúas quendas: coa primeira acóutase a elección a un número reducido de finalistas, entre os que se escollerá o gañador na segunda rolda, que se desvela na gala.

 

2. A cuestión: valoración de varias candidaturas ou só de unha?

Pero queda o asunto de debullar o método de elección nas dúas quendas. A primeira solución, nos albores dos Premios Mestre Mateo, foi a elección única: tanto na primeira como na segunda votábase por unha e só unha candidatura.

A principal dúbida sobre este método reside nunha potencial falta de solidez ante factores subxectivos que causen unha certa deriva no voto.

Ante ese debate, a directiva da Academia Galega do Audiovisual introduciu no ano 2015 (ano no que tamén se estreou a actual plataforma web de visionado e votación) o sistema actualmente en vigor:

a) Na primeira quenda, os membros da academia outorgarán 4 puntos á que estimen mellor candidatura, 3 puntos á segunda mellor, 2 puntos á terceira e, finalmente, 1 punto á cuarta. É necesario emitir todas esas valoracións ou ben deixa-la votación en branco: valorar, p.ex., con 4 puntos só a unha candidatura e non outorgar os 3, 2 e 1 punto a outras é considerado voto nulo.

Cómpre salientar que este proceso non é de puntuación, senón máis ben de ordenación e establecemento dunha orde de prelación (emitir unha puntuación sería deixar ao académico a asignación libre dun número de nota, ou sexa, que puxese notas de 7.5, 9.25, etc).

b) Logo dese proceso, faise a suma global, identifícanse as 4 candidaturas con máis puntos e son proclamadas finalistas. Con elas procédese á segunda quenda, que saca o gañador polo mesmo sistema.

Este método non é ningún invento moderno, é unha das das múltiples variantes do coñecido como Método de Borda, en honor ao matemático francés Jean-Charles de Borda (1733-1799), que o propuxo en 1770; e aplícase en procesos semellantes aos dos Premios Mestre Mateo e mesmo en eleccións políticas.

A pregunta xorde automaticamente: que sistema é o máis xusto ou acaído para os Premios Mestre Mateo? O antigo (que chamaremos binario) ou o actual (Método de Borda)? E, no caso do Método de Borda, ¿cantos niveis serían os óptimos na escala? Isto é: abonda con 4 niveis ou sería mellor engadir/quitar algún?

 

3. O experimento

Para despexar as dúbidas, fixéronse simulacións computacionais dos diferentes sistemas, mesmo explorando a versión a unha soa quenda. Nomeadamente, para comparar se é mellor un sistema a unha quenda que a dúas (aínda que o de quenda única non sexa útil, ao non sacar un grupo de finalistas) e, sobre todo, para comparar o método binario (o orixinal posto en marcha para a edición de 2003) co Método de Borda (o que está en vigor dende a edición de 2015), con diferente número de niveis de prelación, para indagar tamén se a escala actualmente usada de 1 a 4 é boa ou é aconsellable cambiala por outra.

Con ese obxecto, implementouse un programa que opera do seguinte xeito:

Por unha banda, identificamos o que chamamos método Binario, que se implementa facendo que un académico particular asigne un 1 para o seu candidato favorito e valores 0 ao resto (o método usado anteriormente para os Premios Mestre Mateo).

Por outra, identificamos como Borda n a regra na que se lle dan n puntos ao candidato favorito, n-1 ao seguinte, e así sucesivamente (é dicir, cada académico establece unha orde de prelación entre as que estima as mellores n candidaturas). (1)

En ambas quendas aplícase a mesma regra, primeiro para quedar con 4 finalistas e despois elixir o gañador entre eles.(2)

Os parámetros das execucións deste programa foron:

• Candidatos: 20
• Académicos que exercen o voto: 200
• Simulacións totais: 100 000

 

3.1 Simulacións completamente aleatorias

En cada simulación xeráronse aleatoriamente preferencias de 200 académicos votantes sobre 20 candidatos, representadas mediante unha valoración entre 5 e 10, o que crea unha matriz aleatoria de 200 x 20= 40.000 compoñentes. É dicir, unha simulación consiste en que cada académico virtual outorga unha puntuación entre 5 e 10 (a amplitude da escala de puntos non afecta ao proceso) para todos e cada un dos candidatos.

Para cada unha destas simulacións, considerase que o gañador real é aquel candidato cunha valoración media máis alta. A partir de aí, co mapa global de notas que nos dá a nosa matriz, medimos o rendemento dos seguintes sistemas, vendo cando acertan coa identidade do gañador real.

Para estudar as distintas regras de votación, probamos coas seguintes regras: Binario (Borda 1), e Borda 2, 4, 10, 15 e 20, tanto con quenda única como con dúas quendas. P.ex., para Borda 4, vanse mirando as 4 puntuacións máis altas que outorgou cada académico, con elas establécese a orde de prelación entre esas 4 e, computando para tódolos académicos, obtéñense os 4 finalistas. Con eses 4 finalistas, vólvese a mirar na matriz que nota lles outorgou cada académico, para ver con que orde de prelación os ordenaría. A suma é a que identifica ao gañador do proceso.

O procedemento para comparar as distintas regras consiste entón en ver, para cada unha das 100.000 simulacións, cal tería sido o gañador para cada unha das regras, e despois mirar a porcentaxe de veces que cada unha das regras propuxo o gañador real.(3)

Con esas condicións, na seguinte táboa amosamos a porcentaxe de veces que cada unha das regras tería elixido gañador real:

Ante este resultado, tíranse conclusións bastante importantes:

a) O método a dúas quendas é máis xusto que a unha quenda, mentres se vote a 10 ou menos candidaturas. Se nunha única quenda se xerarquiza a 15 ou 20 candidatos, o resultado é máis preciso que con 2 quendas. Isto é lóxico, xa que con Borda 20 estaríase emitindo unha valoración directa para todos e cada un dos candidatos (non quedaría ningún oco de valoración: toda candidatura sería valorada por todo académico). Sobra dicir que o Borda 20 sería un proceso inviable na práctica.

b) No método a dúas quendas, a eficiencia satura xa cunha gradación de 10 niveis: a partir de Borda 10 non se supera o 60% de eficiencia.

c) É digna de mención a mellora de eficiencia que se acada co Borda 4 a dobre quenda. O salto é moi apreciable coa segunda quenda (sóbese do 31% ao 51% de eficiencia) e tamén con respecto ao Borda 2 (auméntase do 39% ao 51%).

Polo tanto, o Borda 4 parece un equilibrio moi axeitado entre esforzo requirido e eficiencia. Isto é: se poñemos nun lado da balanza a lea que supón o proceso de votación para os académicos (votar a 10 ou a 20 candidaturas non sería realista) e, no outro, a eficacia do sistema, o método Borda 4 a dúas quendas é o máis aconsellable para a dimensión do proceso electivo necesario nos Premios Mestre Mateo.

Un aspecto tamén destacable é que a baixa taxa de acertos con Borda 1 posiblemente teña que ver con que as preferencias son xeradas de maneira totalmente aleatoria. En realidade estas regras acertan máis, xa que as preferencias dos distintos académicos estarán correlacionadas entre si: se unha candidatura é realmente boa, haberá consenso e será percibida como tal pola maioría dos académicos.

3.2 Simulacións con correlacións

Inspirados por esa salvidade, para refinar o estudo, ademais de xerar as preferencias de cada académico sobre cada candidato de maneira totalmente independente (coa valoración xerada para cada candidato por cada académico sendo independentes das valoracións dos outros académicos), leváronse a cabo execucións adicionais (outras 100 000 simulacións) cunha estrutura de correlacións máis realista.

Neste caso, a simulación parte dunha valoración “obxectiva” de cada candidato (xerada aleatoriamente), e despois as valoracións dos académicos xéranse aleatoriamente ao redor desta valoración obxectiva, cunha certa variabilidade (xerada tamén aleatoriamente para cada candidato)(4). Deste xeito, temos que as valoracións dos académicos tenderán a unha maior afinidade entre si.

A táboa de eficiencias obtida é a seguinte:

Con estas novas simulacións, tirámo-las seguintes conclusións:

a) A eficiencia dos Borda máis baixos mellora, denotando que a introdución das correlacións ten sentido (achégase máis á realidade).

b) A unha quenda, sorprendentemente unha escala a 10 niveis acaba sendo máis eficiente que a escala a 20. Esa circunstancia é semellante cun sistema de 2 quendas de votación, aínda que a caída non é tan apreciable a partir do Borda 10.

c) Cualitativamente, o Borda 4 segue sendo o método máis eficiente: o cambio de 1 a 2 quendas mellora moito a súa eficiencia (sobe do 50% ao 73%). Ademais é moi competitiva fronte a un maior esforzo no mecanismo de votación: pasar de Borda 4 a Borda 10 (no que os académicos terían que votar a 10 candidatos en cada quenda) só aumenta a eficacia dun 73% a un 82%.

Polo tanto, o método Borda 4 a dúas quendas parece o máis axeitado ao comparar a relación entre esforzo de votación e a súa eficacia, co cal parece que é o óptimo para as dimensións de votantes e candidaturas que se manexan. Ese método é precisamente o usado pola Academia Galega do Audiovisual para os seus Premios Mestre Mateo.

NOTAS:

1) Nótese que o método Borda 1 é o mesmo que o Binario.

2) Nótese que se na primeira quenda se aplica Borda n, con n maior ou igual que 4, entón na segunda quenda dá igual aplicar Borda n ou Borda 4, pois unicamente quedan 4 candidatos.

3) No caso de que unha das simulacións propoña, por exemplo, a 2 candidatos empatados, e un deles coincida con gañador real, cóntase como unha porcentaxe de acertos do 50%.

4) De xeito máis formal, para cada candidatura i xerouse un valor m[i] (entre 5 e 10) e unha desviación típica sd[i] (entre 1 e 5). Despois, as preferencias de todos os avaliadores sobre este candidato son xeradas a partir dunha distribución de probabilidade normal de media m[i] e desviación típica sd[i]. O valor m[i] representa a calidade obxectiva do candidato e o valor sd[i] representa canto varía dita calidade obxectiva ao traducirse en percepcións subxectivas dos académicos.